ID: 00038884
Источник: ФИПИ
Разбираемся в условии. Точка $M$ — середина стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R$. Это означает, что $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R$, а отрезок $AD$ проходит через центр, то есть является диаметром: $AD=2R$.
Шаг 1. Проводим $MB$ и $MC$. Получаем три равнобедренных треугольника: $AMB$ ($MA=MB$), $BMC$ ($MB=MC$) и $CMD$ ($MC=MD$). Обозначим равные углы при основании треугольника $BMC$: $\angle MBC=\angle MCB=t$.
Шаг 2. Раскладываем углы $B$ и $C$. $\angle ABM=\angle B-t=94^{\circ}-t$, $\angle DCM=\angle C-t=131^{\circ}-t$. Из равнобедренности $\angle A=\angle ABM$ и $\angle D=\angle DCM$, поэтому $\angle A+\angle D=(94^{\circ}-t)+(131^{\circ}-t)=225^{\circ}-2t$.
Шаг 3. Уравнение на $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$, значит $\angle A+\angle D=360^{\circ}-94^{\circ}-131^{\circ}=135^{\circ}$. Тогда $225^{\circ}-2t=135^{\circ}$, откуда $2t=90^{\circ}$, $t=45^{\circ}$.
Шаг 4. Угол при центре. В треугольнике $BMC$: $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$. То есть треугольник $BMC$ — прямоугольный и равнобедренный с катетами $MB=MC=R$.
Шаг 5. Находим $R$. По теореме Пифагора $BC^{2}=R^{2}+R^{2}=2R^{2}$, значит $BC=R\sqrt2$. По условию $BC=3$, поэтому $R=\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$.
Шаг 6. Ответ через диаметр. $AD=2R=3\sqrt2\approx 4,24$.