Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038883

Что даёт условие. Точка $M$ — середина стороны $AD$, и она равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD$. Значит, все четыре вершины лежат на одной окружности с центром $M$; обозначим её радиус $R$. Так как $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — диаметр этой окружности и $AD=2R$.

Шаг 1. Отмечаем равнобедренные треугольники. Проведём отрезки $MB$ и $MC$. Тогда:

• треугольник $AMB$ равнобедренный ($MA=MB$), поэтому $\angle MAB=\angle MBA$;
• треугольник $DMC$ равнобедренный ($MD=MC$), поэтому $\angle MDC=\angle MCD$;
• треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB=MC$), обозначим $\angle MBC=\angle MCB=t$.

Шаг 2. Выражаем углы четырёхугольника. Отрезок $MB$ делит угол $B$: $\angle B=\angle ABM+t$, значит $\angle ABM=115^{\circ}-t$. Точно так же $\angle DCM=\angle C-t=95^{\circ}-t$. Но $\angle A=\angle MAB=\angle ABM$ и $\angle D=\angle MDC=\angle DCM$, поэтому

$\angle A+\angle D=(115^{\circ}-t)+(95^{\circ}-t)=210^{\circ}-2t$.

Шаг 3. Находим $t$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$: $\angle A+\angle D=360^{\circ}-115^{\circ}-95^{\circ}=150^{\circ}$. Приравниваем: $210^{\circ}-2t=150^{\circ}$, откуда $2t=60^{\circ}$ и $t=30^{\circ}$.

Шаг 4. Считаем угол при центре. В треугольнике $BMC$ углы при основании равны $t=30^{\circ}$, поэтому $\angle BMC=180^{\circ}-2\cdot 30^{\circ}=120^{\circ}$.

Шаг 5. Связываем $BC$ и $R$. Опустим из $M$ высоту на $BC$: в равнобедренном треугольнике она же и биссектриса, и медиана. Она делит угол $120^{\circ}$ пополам и делит $BC$ пополам, поэтому $\dfrac{BC}{2}=R\sin 60^{\circ}=R\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$, то есть $BC=R\sqrt3$.

Шаг 6. Доводим до ответа. $12=R\sqrt3$, значит $R=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$, и тогда

$AD=2R=8\sqrt3\approx 13,86$.