Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73 в степени ° и 77 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038881

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Треугольники

№2. Задание 25

ID: 00038881

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

73^{\circ}

77^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 9.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ углы $$B$$ и $$C$$ равны $73^{\circ}$ и $77^{\circ}$ , радиус описанной окружности равен $$9$$ . Найти нужно сторону $$BC$$ .

Шаг 1. Ищем недостающий угол. Искомая сторона $$BC$$ лежит против угла $$A$$ , поэтому вычислим его по сумме углов треугольника:

$\angle A=180^{\circ}-73^{\circ}-77^{\circ}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ .

Шаг 2. Применяем расширенную теорему синусов. Она утверждает, что для любого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла равно $$2R$$ , где $$R$$ — радиус описанной окружности. Для стороны $$BC$$ : $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ , то есть $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Считаем. $BC=2\cdot 9\cdot\sin 30^{\circ}=2\cdot 9\cdot\dfrac{1}{2}=9$ .

Обрати внимание: длины сторон $$AB$$ и $$AC$$ по условию неизвестны, но они и не нужны — теорема синусов позволяет найти сторону, зная только противолежащий угол и радиус описанной окружности.

Ответ

BC = 9

Другие задания по теме «Треугольники» (8)