Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038874

Дан треугольник $ABC$, в нём известны углы $\angle B=72^{\circ}$ и $\angle C=78^{\circ}$, а также радиус описанной окружности $R=17$. Нужна сторона $BC$. Ключ к задаче: сторона $BC$ противолежит углу $A$, поэтому именно угол $A$ и связывает сторону с радиусом.

Шаг 1. Находим угол $A$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$: $\angle A=180^{\circ}-72^{\circ}-78^{\circ}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$.

Шаг 2. Теорема синусов. В расширенной форме теорема синусов утверждает: отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно $2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Для нашей пары получаем $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$, то есть $BC=2R\sin A$.

Шаг 3. Считаем. Подставляем $R=17$ и $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$:

$BC=2\cdot 17\cdot\dfrac{1}{2}=17$.

Длины сторон $AB$ и $AC$ для ответа не нужны — вся информация о них уже «зашита» в углах $72^{\circ}$ и $78^{\circ}$.