Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71 в степени ° и 79 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038875

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Треугольники

№2. Задание 25

ID: 00038875

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

71^{\circ}

79^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 8.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ даны углы $\angle B=71^{\circ}$ , $\angle C=79^{\circ}$ и радиус описанной окружности $$R=8$$ . Требуется найти сторону $$BC$$ .

Шаг 1. Определяем, какой угол нам нужен. Сторона $$BC$$ лежит против вершины $$A$$ , значит в теореме синусов её напарник — угол $$A$$ . Найдём его по сумме углов треугольника: $\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-71^{\circ}-79^{\circ}=30^{\circ}$ .

Шаг 2. Расширенная теорема синусов. Она говорит: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ , где $$R$$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Значит, $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Вычисление. Так как $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ , а $$R=8$$ , получаем

$BC=2\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}=8$ .

Проверка на здравый смысл: сторона треугольника не может быть длиннее диаметра описанной окружности, а диаметр здесь равен $$16$$ — наш ответ $$8$$ в эти рамки укладывается.

Ответ

BC = 8

Другие задания по теме «Треугольники» (8)