Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 61 в степени ° и 89 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038879

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Треугольники

№2. Задание 25

ID: 00038879

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

61^{\circ}

89^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 10.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $\angle B=61^{\circ}$ , $\angle C=89^{\circ}$ , а окружность, описанная около треугольника, имеет радиус $$R=10$$ . Нужно найти сторону $$BC$$ .

Шаг 1. Находим угол $$A$$ . Сторона $$BC$$ противолежит углу $$A$$ , а сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$ :

$\angle A=180^{\circ}-61^{\circ}-89^{\circ}=30^{\circ}$ .

Шаг 2. Теорема синусов в расширенной форме. Она связывает сторону, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ . Значит, $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Вычисляем. Подставим $$R=10$$ и $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ :

$BC=2\cdot 10\cdot\dfrac{1}{2}=10$ .

Заметь, что угол $89^{\circ}$ почти прямой — треугольник вытянутый, но на вычисление это никак не влияет: всё решают угол $$A$$ и радиус.

Ответ

BC = 10

Другие задания по теме «Треугольники» (8)