Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63 в степени ° и 87 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038877

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Треугольники

№2. Задание 25

ID: 00038877

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

63^{\circ}

87^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 11.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ равны $63^{\circ}$ и $87^{\circ}$ , радиус описанной окружности равен $$11$$ . Найдём сторону $$BC$$ .

Шаг 1. Третий угол. Сторона $$BC$$ противолежит углу $$A$$ , поэтому находим его: $\angle A=180^{\circ}-63^{\circ}-87^{\circ}=30^{\circ}$ (сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ ).

Шаг 2. Формула, связывающая сторону и описанную окружность. Расширенная теорема синусов: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ , где $$R$$ — радиус описанной около треугольника окружности, $\angle A$ — угол, противолежащий стороне $$BC$$ . Отсюда $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Подстановка. $$R=11$$ , $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ , значит

$BC=2\cdot 11\cdot\dfrac{1}{2}=11$ .

Полезно запомнить этот частный случай: если угол, противолежащий стороне, равен $30^{\circ}$ , то сама сторона равна радиусу описанной окружности.

Ответ

BC = 11

Другие задания по теме «Треугольники» (8)