Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66 в степени ° и 84 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038880

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Треугольники

№2. Задание 25

ID: 00038880

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

66^{\circ}

84^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 15.

Источник: ФИПИ

Решение

Условие даёт два угла треугольника $$ABC$$ — $\angle B=66^{\circ}$ и $\angle C=84^{\circ}$ — и радиус описанной окружности $$R=15$$ . Требуется сторона $$BC$$ .

Шаг 1. Угол, противолежащий стороне $$BC$$ . Это угол $$A$$ : $\angle A=180^{\circ}-66^{\circ}-84^{\circ}=30^{\circ}$ (использована теорема о сумме углов треугольника).

Шаг 2. Связь с описанной окружностью. По расширенной теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ . Выражаем сторону: $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Подставляем числа. $BC=2\cdot 15\cdot\sin 30^{\circ}=2\cdot 15\cdot\dfrac{1}{2}=15$ .

Диаметр описанной окружности здесь равен $$30$$ , и сторона $$15$$ ровно вдвое меньше — это и есть геометрический смысл $\sin 30^{\circ}=0,5$ .

Ответ

BC = 15

Другие задания по теме «Треугольники» (8)