Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65 в степени ° и 85 в степени °. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00038873

№2. Задание 25

ID: 00038873

Углы

$B$

$C$

треугольника

$ABC$

равны соответственно

65^{\circ}

85^{\circ}

. Найдите

$BC$

, если радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 14.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ известны два угла: $\angle B=65^{\circ}$ и $\angle C=85^{\circ}$ . Спрашивают сторону $$BC$$ , а она лежит против третьего угла — угла $$A$$ . Значит, первым делом находим угол $$A$$ .

Шаг 1. Третий угол треугольника. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ , поэтому $\angle A=180^{\circ}-65^{\circ}-85^{\circ}=30^{\circ}$ .

Шаг 2. Связываем сторону с радиусом описанной окружности. Здесь работает теорема синусов в расширенной форме: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности. Для стороны $$BC$$ и противолежащего угла $$A$$ это записывается так: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ , где $$R$$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Отсюда $BC=2R\sin A$ .

Шаг 3. Подставляем числа. По условию $$R=14$$ , а $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ , поэтому

$BC=2\cdot 14\cdot\dfrac{1}{2}=14$ .

Обрати внимание на приятную особенность: раз угол $$A$$ оказался равен $30^{\circ}$ , сторона $$BC$$ получилась ровно равной радиусу описанной окружности.

Ответ

BC = 14

Другие задания по теме «Треугольники» (8)