ID: 00038873
Источник: ФИПИ
В треугольнике $ABC$ известны два угла: $\angle B=65^{\circ}$ и $\angle C=85^{\circ}$. Спрашивают сторону $BC$, а она лежит против третьего угла — угла $A$. Значит, первым делом находим угол $A$.
Шаг 1. Третий угол треугольника. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle A=180^{\circ}-65^{\circ}-85^{\circ}=30^{\circ}$.
Шаг 2. Связываем сторону с радиусом описанной окружности. Здесь работает теорема синусов в расширенной форме: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности. Для стороны $BC$ и противолежащего угла $A$ это записывается так: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Отсюда $BC=2R\sin A$.
Шаг 3. Подставляем числа. По условию $R=14$, а $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, поэтому
$BC=2\cdot 14\cdot\dfrac{1}{2}=14$.
Обрати внимание на приятную особенность: раз угол $A$ оказался равен $30^{\circ}$, сторона $BC$ получилась ровно равной радиусу описанной окружности.