Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB равно 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 5 и 12.

Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009787

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009787

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $$CD$$ , если $$AB = 24$$ , а расстояния от центра окружности до хорд $$AB$$ и $$CD$$ равны соответственно $$5$$ и $$12$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. радиус, расстояние до хорды и половина хорды — стороны прямоугольного треугольника.

Расстояние от центра до хорды $$d$$ , половина хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник: $R^2=d^2+\left(\dfrac{c}{2}\right)^2$ , где $$c$$ — длина хорды.

Для хорды $$AB=24$$ с расстоянием $$5$$ : $R^2=5^2+\left(\dfrac{24}{2}\right)^2=5^2+12^2=169$ , поэтому $$R=13$$ .

Для хорды $$CD$$ с расстоянием $$12$$ : $\dfrac{CD}{2}=\sqrt{R^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5$ .

Значит $CD=2\cdot 5=10$ .

Ответ

$$10$$

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)