Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN равно 18, AC равно 42, NC равно 40.

Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038823

№2. Задание 23

ID: 00038823

Прямая, параллельная стороне

$AC$

треугольника

$ABC$

, пересекает стороны

$AB$

$BC$

в точках

$M$

$N$

соответственно. Найдите

$BN$

, если

$MN=18,AC=42,NC=40$

Источник: ФИПИ

Решение

Прямая $$MN$$ параллельна стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ и пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ .

Шаг 1. Подобие. Треугольники $$BMN$$ и $$BAC$$ подобны по двум углам: угол $$B$$ общий, а угол $$BNM$$ равен углу $$BCA$$ как соответственные при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$BC$$ .

Шаг 2. Коэффициент подобия. $\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{18}{42}=\dfrac{3}{7}$ , следовательно $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{3}{7}$ .

Шаг 3. Составляем уравнение. Точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$ , поэтому $$BC=BN+NC=BN+40$$ . Пусть $$BN=x$$ , тогда

$\dfrac{x}{x+40}=\dfrac{3}{7}$ , то есть $$7x=3(x+40)$$ , $$7x=3x+120$$ , $$4x=120$$ и $$x=30$$ .

Проверка: $$BC=30+40=70$$ , и $\dfrac{30}{70}=\dfrac{3}{7}$ — совпадает с $\dfrac{18}{42}$ .

Ответ

BN = 30

Другие задания по теме «Треугольники» (8)