Треугольники

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00038822

Точка

$H$

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

$B$

треугольника

$ABC$

к гипотенузе

$AC$

. Найдите

$AB$

, если

$AH=9,AC=36$

Источник: ФИПИ

Решение

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный с прямым углом при вершине $$B$$ ; из этой вершины на гипотенузу $$AC$$ опущена высота $$BH$$ . По условию $$AH=9$$ , $$AC=36$$ .

Шаг 1. Подобие. У треугольников $$ABH$$ и $$ACB$$ угол $$A$$ общий, а углы $$AHB$$ и $$ABC$$ равны как прямые. По признаку подобия по двум углам треугольник $$ABH$$ подобен треугольнику $$ACB$$ .

Шаг 2. Отношение сходственных сторон. $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$ , значит $AB^{2}=AH\cdot AC$ — катет является средним пропорциональным между гипотенузой и своей проекцией на неё.

Шаг 3. Вычисление. $AB^{2}=9\cdot 36=324$ , поэтому $AB=\sqrt{324}=18$ .

Проверим правдоподобность: катет $$18$$ короче гипотенузы $$36$$ — всё логично.

Ответ

AB = 18

Другие задания по теме «Треугольники» (8)