Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN равно 22, AC равно 55, NC равно 36.

Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038820

№2. Задание 23

ID: 00038820

Прямая, параллельная стороне

$AC$

треугольника

$ABC$

, пересекает стороны

$AB$

$BC$

в точках

$M$

$N$

соответственно. Найдите

$BN$

, если

$MN=22,AC=55,NC=36$

Источник: ФИПИ

Решение

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ , пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ . Значит, треугольник $$BMN$$ подобен «большому» треугольнику $$BAC$$ .

Шаг 1. Обоснование подобия. Угол $$B$$ у них общий; угол $$BMN$$ равен углу $$BAC$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$ . Значит, треугольники подобны по двум углам.

Шаг 2. Коэффициент подобия. $\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{22}{55}=\dfrac{2}{5}$ , поэтому и $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{2}{5}$ .

Шаг 3. Уравнение. Точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$ , значит $$BC=BN+NC=BN+36$$ . Обозначим $$BN=x$$ :

$\dfrac{x}{x+36}=\dfrac{2}{5}$ , откуда $$5x=2(x+36)$$ , то есть $$5x=2x+72$$ , $$3x=72$$ и $$x=24$$ .

Проверка: $$BC=24+36=60$$ , отношение $\dfrac{24}{60}=\dfrac{2}{5}$ — верно.

Ответ

BN = 24

Другие задания по теме «Треугольники» (8)