Треугольники

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00038816

Точка

$H$

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

$B$

треугольника

$ABC$

к гипотенузе

$AC$

. Найдите

$AB$

, если

$AH=10,AC=40$

Источник: ФИПИ

Решение

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, прямой угол при вершине $$B$$ . Точка $$H$$ — основание высоты $$BH$$ , опущенной из прямого угла на гипотенузу $$AC$$ . Дано: $$AH=10$$ (проекция катета $$AB$$ на гипотенузу), $$AC=40$$ (вся гипотенуза).

Шаг 1. Подобие. У треугольников $$ABH$$ и $$ACB$$ угол $$A$$ общий, угол $$AHB$$ прямой (так как $$BH$$ — высота) и угол $$ABC$$ прямой по условию. По признаку подобия по двум углам треугольник $$ABH$$ подобен треугольнику $$ACB$$ .

Шаг 2. Пропорция. Сходственные стороны: $$AB$$ и $$AC$$ , а также $$AH$$ и $$AB$$ . Значит

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$ , откуда $AB^{2}=AH\cdot AC$ .

Это соотношение читается так: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё.

Шаг 3. Подставляем. $AB^{2}=10\cdot 40=400$ , поэтому $AB=\sqrt{400}=20$ (берём положительный корень, ведь это длина).

Ответ

AB = 20

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники» (8)