Треугольники

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00038815

Точка

$H$

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

$B$

треугольника

$ABC$

к гипотенузе

$AC$

. Найдите

$AB$

, если

$AH=3,AC=12$

Источник: ФИПИ

Решение

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ прямой угол при вершине $$B$$ , а $$BH$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AC$$ . Дано: $$AH=3$$ , $$AC=12$$ .

Шаг 1. Подобные треугольники. Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$ACB$$ . Угол $$A$$ у них общий; угол $$AHB$$ прямой, так как $$BH$$ — высота, и угол $$ABC$$ прямой по условию. По признаку подобия по двум углам эти треугольники подобны.

Шаг 2. Пропорция. Сходственные стороны дают $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$ , то есть

$AB^{2}=AH\cdot AC$ .

Шаг 3. Вычисление. $AB^{2}=3\cdot 12=36$ , откуда $AB=\sqrt{36}=6$ .

Кстати, здесь $$AH$$ составляет четверть гипотенузы, а катет вышел вдвое меньше гипотенузы — верный признак угла $30^{\circ}$ при вершине $$C$$ .

Ответ

AB = 6

Другие задания по теме «Треугольники» (8)