Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038811

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Из этой вершины проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC$. По условию $AH=5$, $AC=20$.

Шаг 1. Подобие. Треугольники $ABH$ и $ACB$ подобны: угол $A$ у них общий, а углы $AHB$ и $ABC$ равны, поскольку оба прямые ($BH$ — высота, угол $B$ прямой). Признак — по двум углам.

Шаг 2. Соотношение. Из подобия $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$, то есть $AB^{2}=AH\cdot AC$: катет является средним пропорциональным между гипотенузой и своей проекцией на неё.

Шаг 3. Подстановка. $AB^{2}=5\cdot 20=100$, поэтому $AB=\sqrt{100}=10$.

Заметим, что $AH=5$ — это ровно четверть гипотенузы, и катет получился вдвое короче гипотенузы: такое бывает, когда угол $C$ равен $30^{\circ}$.