Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038810

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.

Шаг 1. Подобие. У треугольников $BMN$ и $BAC$ угол $B$ общий, а угол $BNM$ равен углу $BCA$ как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$. По двум углам треугольники подобны.

Шаг 2. Пропорция. Сходственные стороны дают

$\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$.

Здесь отрезок $MN$ довольно длинный по сравнению с $AC$, поэтому точка $N$ окажется дальше от $B$, чем от $C$.

Шаг 3. Уравнение. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, значит $BC=BN+NC=BN+10$. Обозначим $BN=x$:

$\dfrac{x}{x+10}=\dfrac{2}{3}$, откуда $3x=2(x+10)$, то есть $3x=2x+20$ и $x=20$.

Проверка: $BC=20+10=30$ и $\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$ — совпадает с $\dfrac{14}{21}$.