Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN равно 14, AC равно 21, NC равно 10.

Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038810

№2. Задание 23

ID: 00038810

Прямая, параллельная стороне

$AC$

треугольника

$ABC$

, пересекает стороны

$AB$

$BC$

в точках

$M$

$N$

соответственно. Найдите

$BN$

, если

$MN=14,AC=21,NC=10$

Источник: ФИПИ

Решение

Прямая $$MN$$ параллельна стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ и пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ .

Шаг 1. Подобие. У треугольников $$BMN$$ и $$BAC$$ угол $$B$$ общий, а угол $$BNM$$ равен углу $$BCA$$ как соответственные при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$BC$$ . По двум углам треугольники подобны.

Шаг 2. Пропорция. Сходственные стороны дают

$\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$ .

Здесь отрезок $$MN$$ довольно длинный по сравнению с $$AC$$ , поэтому точка $$N$$ окажется дальше от $$B$$ , чем от $$C$$ .

Шаг 3. Уравнение. Точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$ , значит $$BC=BN+NC=BN+10$$ . Обозначим $$BN=x$$ :

$\dfrac{x}{x+10}=\dfrac{2}{3}$ , откуда $$3x=2(x+10)$$ , то есть $$3x=2x+20$$ и $$x=20$$ .

Проверка: $$BC=20+10=30$$ и $\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$ — совпадает с $\dfrac{14}{21}$ .

Ответ

BN = 20

Другие задания по теме «Треугольники» (8)