Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038807

Дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $24$, а гипотенуза равна $51$. Нужно найти высоту, опущенную на гипотенузу.

Шаг 1. Находим второй катет. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим неизвестный катет $b$:

$b=\sqrt{51^{2}-24^{2}}=\sqrt{2601-576}=\sqrt{2025}=45$.

Шаг 2. Считаем площадь двумя способами. Площадь прямоугольного треугольника — это половина произведения катетов:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 45=540$.

С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту. Если взять за основание гипотенузу $51$, а за высоту искомую $h$, то $S=\dfrac{1}{2}\cdot 51\cdot h$.

Шаг 3. Приравниваем и находим $h$.

$\dfrac{1}{2}\cdot 51\cdot h=540$, значит $51h=1080$ и $h=\dfrac{1080}{51}=\dfrac{360}{17}$.

В десятичном виде это примерно $21{,}18$.