Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN равно 17, AC равно 51, NC равно 32.

Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038806

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

Треугольники

№2. Задание 23

ID: 00038806

Прямая, параллельная стороне

$AC$

треугольника

$ABC$

, пересекает стороны

$AB$

$BC$

в точках

$M$

$N$

соответственно. Найдите

$BN$

, если

$MN=17,AC=51,NC=32$

Источник: ФИПИ

Решение

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ , пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ . Получился «маленький» треугольник $$BMN$$ внутри «большого» $$BAC$$ .

Шаг 1. Подобие. Угол $$B$$ у этих треугольников общий, а угол $$BNM$$ равен углу $$BCA$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$BC$$ . По двум углам треугольник $$BMN$$ подобен треугольнику $$BAC$$ .

Шаг 2. Коэффициент подобия. $\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{17}{51}=\dfrac{1}{3}$ . Значит и $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{3}$ , то есть $BC=3\cdot BN$ .

Шаг 3. Уравнение. Точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$ , поэтому $$BC=BN+NC=BN+32$$ . Пусть $$BN=x$$ , тогда

$$3x=x+32$$ , откуда $$2x=32$$ и $$x=16$$ .

Проверка: $$BC=16+32=48$$ , и $\dfrac{16}{48}=\dfrac{1}{3}$ — как и должно быть.

Ответ

BN = 16

Другие задания по теме «Треугольники» (8)