Треугольники

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00038805

Точка

$H$

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

$B$

треугольника

$ABC$

к гипотенузе

$AC$

. Найдите

$AB$

, если

$AH=5,AC=45$

Источник: ФИПИ

Решение

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, прямой угол при вершине $$B$$ . Из вершины $$B$$ на гипотенузу $$AC$$ опущена высота $$BH$$ , то есть $BH\perp AC$ . Дано: $$AH=5$$ (проекция катета $$AB$$ на гипотенузу) и $$AC=45$$ (вся гипотенуза).

Шаг 1. Ищем подобные треугольники. У треугольников $$ABH$$ и $$ACB$$ угол $$A$$ общий, а углы $$AHB$$ и $$ABC$$ равны, так как оба прямые. По признаку подобия по двум углам треугольник $$ABH$$ подобен треугольнику $$ACB$$ .

Шаг 2. Записываем пропорцию. Сходственные стороны: $$AB$$ и $$AC$$ , $$AH$$ и $$AB$$ . Значит

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$ , откуда $AB^{2}=AH\cdot AC$ .

Словами: катет — среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на неё.

Шаг 3. Вычисляем. $AB^{2}=5\cdot 45=225$ , поэтому $AB=\sqrt{225}=15$ .

Ответ

AB = 15

Другие задания по теме «Треугольники» (8)