Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038803

В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$, а $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AC$. Отрезок $AH=7$ — это проекция катета $AB$ на гипотенузу, а $AC=28$ — вся гипотенуза.

Шаг 1. Подобие. Рассмотрим треугольники $ABH$ и $ACB$. У них общий угол $A$, а угол $AHB$ равен углу $ABC$, потому что оба прямые ($BH$ — высота, а угол $B$ прямой по условию). По признаку подобия по двум углам треугольник $ABH$ подобен треугольнику $ACB$.

Шаг 2. Пропорция. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны. Стороне $AB$ первого треугольника соответствует сторона $AC$ второго, а стороне $AH$ первого — сторона $AB$ второго:

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$, то есть $AB^{2}=AH\cdot AC$.

Это известное соотношение: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

Шаг 3. Подставляем числа. $AB^{2}=7\cdot 28=196$, значит $AB=\sqrt{196}=14$ (длина положительна, поэтому берём только положительный корень).