Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00038802

Прямая, параллельная стороне $AC$, отсекает от треугольника $ABC$ маленький треугольник $BMN$: точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$.

Шаг 1. Подобие. Угол $B$ у треугольников $BMN$ и $BAC$ общий. Угол $BNM$ равен углу $BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$. По признаку подобия по двум углам треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.

Шаг 2. Пропорция. Стороне $MN$ соответствует сторона $AC$, а стороне $BN$ — сторона $BC$:

$\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{12}{42}=\dfrac{2}{7}$.

Шаг 3. Уравнение. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC=BN+NC=BN+25$. Обозначим $BN=x$:

$\dfrac{x}{x+25}=\dfrac{2}{7}$.

По основному свойству пропорции $7x=2(x+25)$, то есть $7x=2x+50$, откуда $5x=50$ и $x=10$.

Проверка: тогда $BC=10+25=35$ и $\dfrac{10}{35}=\dfrac{2}{7}$ — совпадает с $\dfrac{12}{42}$.