Шаг 1. Упрощаем формулу. Знаменатель не равен нулю: $-1-x\neq 0$, значит $x\neq -1$. Вынесем в знаменателе минус: $-1-x=-(x+1)$. Тогда $$\dfrac{x+1}{-1-x}=\dfrac{x+1}{-(x+1)}=-1\quad\text{при }x\neq -1,$$ и функция принимает вид $$y=-(x^{2}+0,25)=-x^{2}-0,25,\qquad x\neq -1.$$
Шаг 2. График. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-0,25)$, из которой выколота точка с абсциссой $x=-1$. Её ордината: $y=-(-1)^{2}-0,25=-1-0,25=-1,25$, то есть «дырка» в точке $(-1;-1,25)$.
Шаг 3. Пересечение с прямой $y=kx$. Приравниваем: $$-x^{2}-0,25=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+0,25=0,\qquad D=k^{2}-1.$$
- при $-1</li><li>при$k=1$и при$k=-1$дискриминант равен нулю, корень один: соответственно$x=-0,5$и$x=0,5$. Ни один не совпадает с выколотой точкой$x=-1$, значит общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>1$корней два, и точек будет две, если только один из корней не выколот.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через выколотую точку.</b> Подставим$x=-1$в уравнение:$1-k+0,25=0$, откуда$k=1,25$. Проверяем:$| 1,25 |>1$, значит корней два. По теореме Виета их произведение равно$0,25$, поэтому второй корень равен$\dfrac{0,25}{-1}=-0,25$. Корень$x=-1$выколот, остаётся$x=-0,25$— общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-1$,$k=1$и$k=1,25$.
