Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038787

Шаг 1. Строим параболу под модулем. Рассмотрим функцию $y=x^{2}+3x+2$. Её нули: $x^{2}+3x+2=0$, по теореме Виета корни $x=-1$ и $x=-2$ (сумма $-3$, произведение $2$). Вершина посередине между нулями: $x_0=-1,5$, $y_0=(-1,5)^{2}+3\cdot(-1,5)+2=2,25-4,5+2=-0,25$. Итак, парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $-2$ и $-1$, а между ними опускается под ось совсем немного — на $0,25$.

Шаг 2. Применяем модуль. Модуль оставляет на месте всё, что выше оси $Ox$, и отражает наверх то, что ниже. Кусок между $x=-2$ и $x=-1$ переворачивается и превращается в маленький «горбик» высотой $0,25$ с вершиной в точке $(-1,5;0,25)$. Точки $(-2;0)$ и $(-1;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Проводим прямые $y=m$, параллельные оси абсцисс.

• $m\lt 0$: график лежит не ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только $(-2;0)$ и $(-1;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 0,25$: прямая пересекает обе внешние ветви и дважды горбик — $4$ точки;
• $m=0,25$: две внешние ветви плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 0,25$: горбик ниже прямой, остаются только внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; так будет для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 0,25$, например для $y=0,1$.