Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038785

Шаг 1. Упрощаем. Дробь имеет смысл при $1-x\neq 0$, то есть $x\neq 1$. Так как $x-1=-(1-x)$, отношение $\dfrac{x-1}{1-x}$ равно $-1$ при всех допустимых $x$. Значит $$y=-(x^{2}+2,25)=-x^{2}-2,25,\qquad x\neq 1.$$

Шаг 2. Строим график. Парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-2,25)$, из которой выколота точка с абсциссой $x=1$. Её ордината: $y=-1-2,25=-3,25$, значит «дырка» находится в точке $(1;-3,25)$.

Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Приравниваем: $$-x^{2}-2,25=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+2,25=0,\qquad D=k^{2}-4\cdot 2,25=k^{2}-9.$$

• при $-3</li><li>при$k=3$и при$k=-3$дискриминант равен нулю, корень один: соответственно$x=-1,5$и$x=1,5$. Ни один не равен$1$, значит прямая касается параболы и общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>3$корней два, и общих точек две — если только один из них не выколот.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через выколотую точку.</b> Подставим$x=1$:$1+k+2,25=0$, откуда$k=-3,25$. Проверяем:$| -3,25 |>3$, значит корней два. По теореме Виета их произведение равно$2,25$, поэтому второй корень равен$\dfrac{2,25}{1}=2,25$. Первый корень выколот, второй остаётся — общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-3,25$,$k=-3$и$k=3$.