Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038783

Шаг 1. Разбираемся с параболой под знаком модуля. Возьмём функцию $y=x^{2}-6x+5$. Её нули: $x^{2}-6x+5=0$, по теореме Виета корни $x=1$ и $x=5$ (сумма $6$, произведение $5$). Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=3$, $y_0=3^{2}-6\cdot 3+5=9-18+5=-4$. Значит парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $1$ и $5$, а между ними опускается под ось до глубины $-4$.

Шаг 2. Что делает модуль. Модуль превращает все отрицательные значения в положительные: часть графика выше оси $Ox$ остаётся неизменной, а кусок между $x=1$ и $x=5$ отражается симметрично вверх относительно оси. Вместо ямы получается «горбик» высотой $4$ с вершиной в точке $(3;4)$; точки $(1;0)$ и $(5;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Пересекаем с прямыми, параллельными оси абсцисс. Такая прямая задаётся уравнением $y=m$:

• $m\lt 0$: график не опускается ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только точки $(1;0)$ и $(5;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 4$: прямая режет левую внешнюю ветвь, правую внешнюю ветвь и дважды горбик — $4$ точки;
• $m=4$: две внешние ветви плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 4$: горбик остаётся ниже прямой, остаются только внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; оно достигается для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 4$, например для $y=1$.