Шаг 1. Упрощаем выражение. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $1-x\neq 0$, то есть $x\neq 1$. Заметим, что $x-1=-(1-x)$, поэтому $$\dfrac{x-1}{1-x}=-1\quad\text{при }x\neq 1,$$ и функция превращается в $$y=-(x^{2}+4)=-x^{2}-4,\qquad x\neq 1.$$
Шаг 2. Строим график. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-4)$, в которой выколота точка с абсциссой $x=1$. Её ордината: $y=-1-4=-5$, то есть «дырка» в точке $(1;-5)$.
Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Все такие прямые проходят через начало координат. Приравниваем: $$-x^{2}-4=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+4=0,\qquad D=k^{2}-16.$$
- при $-4</li><li>при$k=4$и при$k=-4$дискриминант равен нулю, корень единственный: соответственно$x=-2$и$x=2$. Ни один из них не равен$1$, значит общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>4$корней два, и общих точек будет две — кроме случая, когда один корень попал в выколотую точку.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через «дырку».</b> Подставим$x=1$:$1+k+4=0$, откуда$k=-5$. Проверяем:$| -5 |>4$, значит корней два. По теореме Виета их произведение равно$4$, поэтому второй корень равен$\dfrac{4}{1}=4$. Корень$x=1$выколот, остаётся$x=4$— общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-5$,$k=-4$и$k=4$.
