Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038781

Шаг 1. Упрощаем формулу. Дробь имеет смысл при $1-x\neq 0$, то есть при $x\neq 1$. Числитель содержит множитель $x-1$, а он отличается от знаменателя только знаком: $x-1=-(1-x)$. Поэтому $$\dfrac{x-1}{1-x}=-1\quad\text{при }x\neq 1,$$ и функция принимает вид $$y=-(x^{2}+0,25)=-x^{2}-0,25,\qquad x\neq 1.$$

Шаг 2. Строим график. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-0,25)$, из которой выколота точка с абсциссой $x=1$. Её ордината: $y=-1-0,25=-1,25$, значит «дырка» находится в точке $(1;-1,25)$.

Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Приравниваем: $$-x^{2}-0,25=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+0,25=0,\qquad D=k^{2}-4\cdot 0,25=k^{2}-1.$$

• при $-1</li><li>при$k=1$и при$k=-1$дискриминант равен нулю, корень один: соответственно$x=-0,5$и$x=0,5$. Ни один не равен$1$, поэтому прямая касается параболы и общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>1$корней два, и точек будет две, если только один из корней не выколот.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через выколотую точку.</b> Подставим$x=1$в квадратное уравнение:$1+k+0,25=0$, откуда$k=-1,25$. Проверяем:$| -1,25 |>1$, значит корней действительно два. По теореме Виета их произведение равно$0,25$, поэтому второй корень равен$\dfrac{0,25}{1}=0,25$. Корень$x=1$выколот, остаётся только$x=0,25$— общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-1,25$,$k=-1$и$k=1$.