Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038780

Шаг 1. Раскрываем модуль. Подмодульное выражение $x+2$ меняет знак при $x=-2$ — этой точкой и делим ось.

При $x\geq -2$: $| x+2 |=x+2$, поэтому $$y=x^{2}+3x-3(x+2)+2=x^{2}+3x-3x-6+2=x^{2}-4.$$ Слагаемые с $x$ взаимно уничтожились, осталась парабола $y=x^{2}$, опущенная на $4$ вниз: вершина $(0;-4)$, и она лежит в области $x\geq -2$. Нули: $x=2$ и $x=-2$ — оба принадлежат этой области.

При $x<-2$: $| x+2 |=-(x+2)$, поэтому $$y=x^{2}+3x+3(x+2)+2=x^{2}+3x+3x+6+2=x^{2}+6x+8.$$ Тоже парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-3$, $y_0=9-18+8=-1$. Точка $(-3;-1)$ лежит в области $x<-2$. Нули: $x^{2}+6x+8=0$ даёт $x=-2$ и $x=-4$; в этой области остаётся $x=-4$.

Шаг 2. Стык кусков. При $x=-2$ обе формулы дают ноль: $4-4=0$ и $4-12+8=0$. Значит график непрерывен и проходит через точку $(-2;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(-3;-1)$, поднимается к стыку $(-2;0)$, затем опускается до дна $(0;-4)$ и снова уходит вверх. Двугорбая кривая: ямы на высотах $-1$ и $-4$, между ними локальный максимум $(-2;0)$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-4$: $0$ точек;
• $m=-4$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-4</li><li>$m=-1$:$2$точки на правой параболе плюс дно левой, более мелкой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-1
• $m=0$: стык $(-2;0)$, плюс $x=2$ справа и $x=-4$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-1$.