Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038779

Шаг 1. Строим параболу под модулем. Рассмотрим функцию $y=x^{2}+2x-3$. Её нули: $x^{2}+2x-3=0$, по теореме Виета корни $x=1$ и $x=-3$ (сумма $-2$, произведение $-3$). Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=-1$, $y_0=(-1)^{2}+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4$. Итак, парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $-3$ и $1$, а между ними опускается ниже оси до глубины $-4$.

Шаг 2. Применяем модуль. Модуль делает все значения неотрицательными: часть графика выше оси $Ox$ остаётся на месте, а часть между $x=-3$ и $x=1$, лежавшая ниже оси, отражается симметрично вверх. Яма глубиной $4$ превращается в «горбик» высотой $4$ с вершиной в точке $(-1;4)$. Точки $(-3;0)$ и $(1;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Пересекаем горизонтальными прямыми. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид $y=m$:

• $m\lt 0$: график лежит не ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только $(-3;0)$ и $(1;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 4$: прямая пересекает левую внешнюю ветвь, правую внешнюю ветвь и дважды горбик — $4$ точки;
• $m=4$: две внешние ветви плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 4$: горбик уже ниже прямой, остаются только внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; так будет для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 4$, например для $y=2$.