Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038777

Шаг 1. Разбираемся с параболой под модулем. Рассмотрим сначала функцию $y=x^{2}-4x+3$. Её нули: $x^{2}-4x+3=0$, по теореме Виета корни $x=1$ и $x=3$ (сумма $4$, произведение $3$). Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=2$, $y_0=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$. Значит парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $1$ и $3$, а между ними уходит под ось на глубину $1$.

Шаг 2. Действие модуля. Модуль делает все значения неотрицательными: кусок графика, лежащий выше оси $Ox$, остаётся на месте, а кусок между $x=1$ и $x=3$, который был ниже оси, отражается симметрично вверх. Вместо ямы получается «горбик» с вершиной в точке $(2;1)$, а точки $(1;0)$ и $(3;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Проводим прямые, параллельные оси абсцисс. Такая прямая имеет вид $y=m$. Считаем общие точки:

• $m\lt 0$: график не опускается ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только $(1;0)$ и $(3;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 1$: прямая пересекает левую внешнюю ветвь, правую внешнюю ветвь и дважды горбик — $4$ точки;
• $m=1$: две внешние ветви плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 1$: горбик остаётся ниже прямой, остаются только внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; оно достигается для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 1$, например для $y=0,5$.