Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038776

Шаг 1. Раскрываем модуль по промежуткам. В формуле $y=x| x |+| x |-3x$ знак модуля определяется знаком $x$, поэтому разбираем два случая.

При $x\geq 0$: $| x |=x$, поэтому $$y=x\cdot x+x-3x=x^{2}+x-3x=x^{2}-2x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$ — оба лежат в области $x\geq 0$. Вершина посередине между нулями: $x_0=1$, $y_0=1-2=-1$. Правая половина графика выходит из начала координат, опускается до точки $(1;-1)$, возвращается на ось в точке $(2;0)$ и дальше поднимается вверх.

При $x<0$: $| x |=-x$, поэтому $$y=x\cdot(-x)+(-x)-3x=-x^{2}-x-3x=-x^{2}-4x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+4)=0$, то есть $x=0$ и $x=-4$; в области $x<0$ остаётся только $x=-4$. Вершина: $x_0=-2$, $y_0=-(-2)^{2}-4\cdot(-2)=-4+8=4$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, пересекает ось в точке $(-4;0)$, достигает наибольшего значения $4$ в точке $(-2;4)$ и спускается к началу координат.

Половины смыкаются в точке $(0;0)$ — график непрерывен.

Шаг 2. Сколько точек даёт прямая $y=m$.

Правая половина: при $m<-1$ точек нет; при $m=-1$ одна (вершина); при $-10$ одна.

Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (это точка $x=-4$, так как $x=0$ левой половине не принадлежит); при $04$ ни одной.

• $m<-1$: $0+1=1$;
• $m=-1$: $1+1=2$ — подходит;
• $-1</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=4$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;4$: $1+0=1$.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-1$ и при $m=4$.