ID: 00038775
Источник: ФИПИ
Шаг 1. Раскрываем модуль. Раскроем скобки: $| x |\cdot(x+1)-6x=x| x |+| x |-6x$. Модуль переключается при $x=0$, поэтому график состоит из двух кусков.
При $x\geq 0$: $| x |=x$, значит $$y=x(x+1)-6x=x^{2}+x-6x=x^{2}-5x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-5)=0$, то есть $x=0$ и $x=5$ — оба принадлежат области $x\geq 0$. Вершина посередине между нулями: $x_0=2,5$, $y_0=2,5^{2}-5\cdot 2,5=6,25-12,5=-6,25$. Правая половина графика идёт из начала координат вниз до точки $(2,5;-6,25)$, возвращается на ось в точке $(5;0)$ и дальше поднимается.\lt /p\gt \lt p\gt \lt b\gt При $x<0$:\lt /b\gt $| x |=-x$, значит $$y=-x(x+1)-6x=-x^{2}-x-6x=-x^{2}-7x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+7)=0$, то есть $x=0$ и $x=-7$; в области $x<0$ остаётся $x=-7$. Вершина: $x_0=-3,5$, $y_0=-(-3,5)^{2}-7\cdot(-3,5)=-12,25+24,5=12,25$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-7;0)$, достигает высшей точки $(-3,5;12,25)$ и спускается к началу координат.\lt /p\gt \lt p\gt Куски смыкаются в точке $(0;0)$.\lt /p\gt \lt p\gt \lt b\gt Шаг 2. Считаем общие точки с прямой $y=m$.\lt /b\gt \lt /p\gt \lt p\gt Правая половина: при $m<-6,25$ точек нет; при $m=-6,25$ одна (вершина); при $-6,250$ одна.\lt /p\gt \lt p\gt Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (точка $x=-7$); при $012,25$ ни одной.\lt /p\gt \lt ul\gt \lt li\gt $m<-6,25$: $0+1=1$;\lt /li\gt \lt li\gt $m=-6,25$: $1+1=2$ — подходит;\lt /li\gt \lt li\gt $-6,2512,25$: $1+0=1$.\lt /li\gt \lt /ul\gt \lt p\gt Ровно две общие точки получаются при $m=-6,25$ и при $m=12,25$.