Шаг 1. Упрощаем формулу. Знаменатель не равен нулю: $-1-x\neq 0$, значит $x\neq -1$. Вынесем минус: $-1-x=-(x+1)$, поэтому $$\dfrac{x+1}{-1-x}=-1\quad\text{при }x\neq -1,$$ и функция превращается в $$y=-(x^{2}+4)=-x^{2}-4,\qquad x\neq -1.$$
Шаг 2. Строим график. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-4)$; в ней выколота точка с абсциссой $x=-1$. Её ордината: $y=-(-1)^{2}-4=-1-4=-5$, то есть «дырка» находится в точке $(-1;-5)$.
Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Приравниваем: $$-x^{2}-4=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+4=0,\qquad D=k^{2}-16.$$
- при $-4</li><li>при$k=4$и при$k=-4$дискриминант равен нулю, единственный корень$x=-\dfrac{k}{2}$: соответственно$x=-2$и$x=2$. Ни один из них не равен$-1$, значит прямая касается параболы и имеет с графиком ровно одну общую точку — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>4$корней два, и общих точек будет две, если только один из корней не выколот.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через выколотую точку.</b> Подставим$x=-1$в уравнение:$1-k+4=0$, откуда$k=5$. Проверяем:$| 5 |>4$, значит корней два. По теореме Виета их произведение равно$4$, поэтому второй корень равен$\dfrac{4}{-1}=-4$. Корень$x=-1$выколот, остаётся только$x=-4$— общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-4$,$k=4$и$k=5$.
