Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038772

Шаг 1. Упрощаем выражение. Знаменатель не должен быть нулём: $-1-x\neq 0$, то есть $x\neq -1$. Вынесем в знаменателе минус: $-1-x=-(x+1)$. Тогда $$\dfrac{x+1}{-1-x}=\dfrac{x+1}{-(x+1)}=-1\quad\text{при }x\neq -1,$$ и функция принимает вид $$y=-(x^{2}+6,25)=-x^{2}-6,25,\qquad x\neq -1.$$

Шаг 2. График. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-6,25)$, из которой выколота точка с абсциссой $x=-1$. Её ордината: $y=-(-1)^{2}-6,25=-1-6,25=-7,25$. Значит на графике «дырка» в точке $(-1;-7,25)$.

Шаг 3. Пересечение с прямой $y=kx$. Все такие прямые проходят через начало координат. Приравниваем: $$-x^{2}-6,25=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+6,25=0,\qquad D=k^{2}-25.$$

• при $-5</li><li>при$k=5$и при$k=-5$дискриминант равен нулю, корень один: соответственно$x=-2,5$и$x=2,5$. Ни один не совпадает с выколотой точкой$x=-1$, поэтому общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>при$| k |>5$корней два, и точек будет две — кроме случая, когда один из корней выколот.</li></ul><p><b>Шаг 4. Прямая через «дырку».</b> Подставим$x=-1$в уравнение:$1-k+6,25=0$, откуда$k=7,25$. Проверим:$| 7,25 |>5$, значит корней действительно два. По теореме Виета произведение корней равно$6,25$, поэтому второй корень равен$\dfrac{6,25}{-1}=-6,25$. Один корень выколот, второй остаётся — общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-5$,$k=5$и$k=7,25$.