Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038771

Шаг 1. Строим параболу под модулем. Сначала разберёмся с функцией $y=x^{2}+5x+6$. Её нули: $x^{2}+5x+6=0$, по теореме Виета корни $x=-2$ и $x=-3$ (сумма $-5$, произведение $6$). Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=-2,5$, $y_0=(-2,5)^{2}+5\cdot(-2,5)+6=6,25-12,5+6=-0,25$. Значит парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $-3$ и $-2$, а между ними опускается ниже оси, до глубины $-0,25$.

Шаг 2. Применяем модуль. Модуль делает все значения неотрицательными: та часть графика, что была выше оси $Ox$, остаётся на месте, а часть, лежавшая ниже (это как раз кусок между $x=-3$ и $x=-2$), отражается симметрично вверх. Вместо ямы глубиной $0,25$ появляется «горбик» высотой $0,25$ с вершиной в точке $(-2,5;0,25)$. Точки $(-3;0)$ и $(-2;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Пересекаем с горизонтальными прямыми. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид $y=m$. Считаем точки:

• $m\lt 0$: график целиком лежит не ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только точки $(-3;0)$ и $(-2;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 0,25$: прямая режет обе внешние ветви (слева от $-3$ и справа от $-2$) и вдобавок дважды пересекает горбик — $4$ точки;
• $m=0,25$: две точки на внешних ветвях плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 0,25$: горбик уже ниже прямой, остаются только две внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; оно достигается для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 0,25$, например $y=0,1$.