Шаг 1. Упрощаем формулу. Дробь имеет смысл при $1-x\neq 0$, то есть при $x\neq 1$. Заметим, что $x-1=-(1-x)$, поэтому $$\dfrac{x-1}{1-x}=-1\quad\text{при }x\neq 1,$$ и вся функция превращается в $$y=-(x^{2}+6,25)=-x^{2}-6,25,\qquad x\neq 1.$$
Шаг 2. Строим график. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-6,25)$, у которой выколота точка с абсциссой $x=1$. Её ордината: $y=-1-6,25=-7,25$, то есть на графике «дырка» в точке $(1;-7,25)$.
Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Приравниваем: $$-x^{2}-6,25=kx\ \Longrightarrow\ x^{2}+kx+6,25=0.$$ Дискриминант: $D=k^{2}-4\cdot 6,25=k^{2}-25$.
- если $D<0$, то есть $-5</li><li>если$D=0$, то есть$k=5$или$k=-5$, корень один:$x=-\dfrac{k}{2}$. При$k=5$это$x=-2,5$, при$k=-5$это$x=2,5$; ни один из них не равен$1$, значит общая точка ровно одна — <b>оба значения подходят</b>;</li><li>если$D>0$, то есть$| k |>5$, корней два, и общих точек будет две — если только один из корней не попал в выколотую точку.</li></ul><p><b>Шаг 4. Случай, когда прямая проходит через «дырку».</b> Пусть$x=1$— корень уравнения:$1+k+6,25=0$, откуда$k=-7,25$. Проверим, что это значение действительно даёт$D>0$:$| -7,25 |>5$, значит корней два. По теореме Виета их произведение равно$6,25$, поэтому второй корень равен$\dfrac{6,25}{1}=6,25$. Первый корень выколот, второй остаётся — общая точка ровно одна, значение подходит.</p><p>Итого подходят три значения:$k=-7,25$,$k=-5$и$k=5$.
