Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038769

Шаг 1. Убираем модуль. В формуле $y=x| x |+3| x |-5x$ модуль переключается при $x=0$, поэтому график состоит из двух кусков.

При $x\geq 0$: подставляем $| x |=x$: $$y=x\cdot x+3x-5x=x^{2}+3x-5x=x^{2}-2x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$, оба принадлежат промежутку $x\geq 0$. Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=1$, $y_0=1^{2}-2\cdot 1=-1$. Правая половина графика идёт из начала координат вниз к точке $(1;-1)$, возвращается на ось в точке $(2;0)$ и дальше поднимается без ограничений.

При $x<0$: подставляем $| x |=-x$: $$y=x\cdot(-x)+3\cdot(-x)-5x=-x^{2}-3x-5x=-x^{2}-8x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+8)=0$, то есть $x=0$ и $x=-8$; в промежутке $x<0$ остаётся только $x=-8$. Вершина: $x_0=\dfrac{0+(-8)}{2}=-4$, $y_0=-(-4)^{2}-8\cdot(-4)=-16+32=16$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, пересекает ось в точке $(-8;0)$, достигает наибольшего значения $16$ в точке $(-4;16)$ и спускается к началу координат.

В точке $(0;0)$ куски смыкаются — разрыва нет.

Шаг 2. Сколько точек даёт горизонталь $y=m$.

Правая половина: при $m<-1$ точек нет; при $m=-1$ одна (вершина); при $-10$ одна.

Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (точка $x=-8$); при $016$ ни одной.

• $m<-1$: $0+1=1$;
• $m=-1$: $1+1=2$ — подходит;
• $-1</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=16$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;16$: $1+0=1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=-1$ и при $m=16$.