Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038768

Шаг 1. Раскрываем модуль. Выражение $x+2$ меняет знак при $x=-2$.

При $x\geq -2$: $| x+2 |=x+2$, поэтому $$y=x^{2}+3x-4(x+2)+2=x^{2}+3x-4x-8+2=x^{2}-x-6.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=\dfrac{1}{2}=0,5$, $y_0=0,25-0,5-6=-6,25$. Точка $(0,5;-6,25)$ лежит в области $x\geq -2$. Нули: $x^{2}-x-6=0$ даёт $x=3$ и $x=-2$.

При $x<-2$: $| x+2 |=-(x+2)$, поэтому $$y=x^{2}+3x+4(x+2)+2=x^{2}+3x+4x+8+2=x^{2}+7x+10.$$ Тоже ветви вверх. Вершина: $x_0=-3,5$, $y_0=12,25-24,5+10=-2,25$. Точка $(-3,5;-2,25)$ лежит в области $x<-2$. Нули: $x^{2}+7x+10=0$ даёт $x=-2$ и $x=-5$; в этой области остаётся $x=-5$.

Шаг 2. Стык кусков. При $x=-2$ обе формулы дают ноль: $4+2-6=0$ и $4-14+10=0$. График непрерывен и проходит через точку $(-2;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(-3,5;-2,25)$, поднимается к стыку $(-2;0)$, затем падает до дна $(0,5;-6,25)$ и снова уходит вверх. Это двугорбая кривая: ямы на высотах $-2,25$ и $-6,25$, между ними локальный максимум $(-2;0)$.

Шаг 4. Считаем точки пересечения с прямой $y=m$.

• $m<-6,25$: $0$ точек;
• $m=-6,25$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-6,25</li><li>$m=-2,25$:$2$точки на правой параболе плюс дно левой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-2,25
• $m=0$: стык $(-2;0)$, плюс $x=3$ справа и $x=-5$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-2,25$.