Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038766

Шаг 1. Раскрываем модуль. Подмодульное выражение $x+7$ обращается в ноль при $x=-7$ — этой точкой делим ось.

При $x\geq -7$: $| x+7 |=x+7$, поэтому $$y=x^{2}+13x-3(x+7)+42=x^{2}+13x-3x-21+42=x^{2}+10x+21.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{10}{2}=-5$, $y_0=25-50+21=-4$. Точка $(-5;-4)$ лежит в области $x\geq -7$. Нули: $x^{2}+10x+21=0$ даёт $x=-3$ и $x=-7$ (сумма $-10$, произведение $21$).

При $x<-7$: $| x+7 |=-(x+7)$, поэтому $$y=x^{2}+13x+3(x+7)+42=x^{2}+13x+3x+21+42=x^{2}+16x+63.$$ Тоже ветви вверх. Вершина: $x_0=-8$, $y_0=64-128+63=-1$. Точка $(-8;-1)$ лежит в области $x<-7$. Нули: $x^{2}+16x+63=0$ даёт $x=-7$ и $x=-9$; в этой области остаётся $x=-9$.

Шаг 2. Проверяем стык. При $x=-7$ обе формулы дают ноль: $49-70+21=0$ и $49-112+63=0$. Значит график непрерывен и проходит через $(-7;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(-8;-1)$, поднимается к стыку $(-7;0)$, затем опускается до дна $(-5;-4)$ и снова уходит вверх. Двугорбая кривая: ямы на высотах $-1$ и $-4$, между ними локальный максимум $(-7;0)$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-4$: $0$ точек;
• $m=-4$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-4</li><li>$m=-1$:$2$точки на правой параболе плюс дно мелкой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-1
• $m=0$: стык $(-7;0)$, плюс $x=-3$ справа и $x=-9$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки получаются при $m=0$ и при $m=-1$.