Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038765

Шаг 1. Убираем модуль. Формула $y=x| x |+| x |-6x$ распадается на два случая по знаку $x$.

При $x\geq 0$: $| x |=x$, поэтому $$y=x\cdot x+x-6x=x^{2}+x-6x=x^{2}-5x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-5)=0$, то есть $x=0$ и $x=5$ — оба лежат в области $x\geq 0$. Вершина посередине: $x_0=2,5$, $y_0=2,5^{2}-5\cdot 2,5=6,25-12,5=-6,25$. Правая половина графика выходит из точки $(0;0)$, опускается до $(2,5;-6,25)$, возвращается на ось в точке $(5;0)$ и неограниченно поднимается.

При $x<0$: $| x |=-x$, поэтому $$y=x\cdot(-x)+(-x)-6x=-x^{2}-x-6x=-x^{2}-7x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+7)=0$, то есть $x=0$ и $x=-7$; в области $x<0$ остаётся $x=-7$. Вершина: $x_0=-3,5$, $y_0=-(-3,5)^{2}-7\cdot(-3,5)=-12,25+24,5=12,25$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-7;0)$, достигает высшей точки $(-3,5;12,25)$ и спускается к началу координат.

Шаг 2. Сколько точек даёт прямая $y=m$.

Правая половина: при $m<-6,25$ точек нет; при $m=-6,25$ одна (вершина); при $-6,250$ одна.

Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (точка $x=-7$); при $012,25$ ни одной.

• $m<-6,25$: $0+1=1$;
• $m=-6,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $-6,25</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=12,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;12,25$: $1+0=1$.

Итак, ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-6,25$ и при $m=12,25$.