ID: 00038764
Источник: ФИПИ
Шаг 1. Раскрываем модуль по промежуткам. В формуле $y=x| x |+| x |-5x$ всё зависит от знака $x$.
При $x\geq 0$: $| x |=x$, поэтому $$y=x\cdot x+x-5x=x^{2}+x-5x=x^{2}-4x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-4)=0$, то есть $x=0$ и $x=4$ — оба принадлежат области $x\geq 0$. Вершина посередине между нулями: $x_0=2$, $y_0=4-8=-4$. Правая половина выходит из начала координат, опускается до точки $(2;-4)$, возвращается на ось в $(4;0)$ и уходит вверх.
При $x<0$: $| x |=-x$, поэтому $$y=x\cdot(-x)+(-x)-5x=-x^{2}-x-5x=-x^{2}-6x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+6)=0$, то есть $x=0$ и $x=-6$; в области $x<0$ остаётся $x=-6$. Вершина: $x_0=-3$, $y_0=-(-3)^{2}-6\cdot(-3)=-9+18=9$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-6;0)$, достигает наибольшего значения $9$ в точке $(-3;9)$ и спускается к началу координат.
Половины склеиваются в точке $(0;0)$.
Шаг 2. Считаем пересечения с прямой $y=m$.
Правая половина: при $m<-4$ точек нет; при $m=-4$ одна (вершина); при $-40$ одна.
Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (точка $x=-6$); при $09$ ни одной.
Ровно две общие точки получаются при $m=-4$ и при $m=9$.