Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038762

Шаг 1. Раскрываем модуль. В формуле $y=x| x |+2| x |-5x$ модуль переключается в точке $x=0$.

При $x\geq 0$: $| x |=x$, поэтому $$y=x\cdot x+2x-5x=x^{2}+2x-5x=x^{2}-3x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-3)=0$, то есть $x=0$ и $x=3$ — оба принадлежат области $x\geq 0$. Вершина посередине: $x_0=1,5$, $y_0=1,5^{2}-3\cdot 1,5=2,25-4,5=-2,25$. Правая половина выходит из начала координат, опускается до $(1,5;-2,25)$, возвращается к оси в точке $(3;0)$ и уходит вверх.

При $x<0$: $| x |=-x$, поэтому $$y=x\cdot(-x)+2\cdot(-x)-5x=-x^{2}-2x-5x=-x^{2}-7x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+7)=0$, то есть $x=0$ и $x=-7$; в области $x<0$ остаётся $x=-7$. Вершина: $x_0=\dfrac{0+(-7)}{2}=-3,5$, $y_0=-(-3,5)^{2}-7\cdot(-3,5)=-12,25+24,5=12,25$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-7;0)$, достигает высшей точки $(-3,5;12,25)$ и спускается к началу координат.

Обе половины сходятся в точке $(0;0)$.

Шаг 2. Пересекаем с прямой $y=m$.

Правая половина: при $m<-2,25$ точек нет; при $m=-2,25$ одна (вершина); при $-2,250$ одна.

Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (точка $x=-7$); при $012,25$ ни одной.

• $m<-2,25$: $0+1=1$;
• $m=-2,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $-2,25</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=12,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;12,25$: $1+0=1$.

Итак, ровно две общие точки прямая имеет при $m=-2,25$ и при $m=12,25$.