Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038760

Шаг 1. Раскрываем модуль. Под модулем стоит $x-2$, он меняет знак при $x=2$.

При $x\geq 2$: $| x-2 |=x-2$, поэтому $$y=x^{2}-5x-5(x-2)+6=x^{2}-5x-5x+10+6=x^{2}-10x+16.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=\dfrac{10}{2}=5$, $y_0=25-50+16=-9$. Точка $(5;-9)$ попадает в область $x\geq 2$. Нули: $x^{2}-10x+16=0$, дискриминант $100-64=36$, корни $x=\dfrac{10\pm 6}{2}$, то есть $x=2$ и $x=8$.

При $x<2$: $| x-2 |=2-x$, поэтому $$y=x^{2}-5x+5(x-2)+6=x^{2}-5x+5x-10+6=x^{2}-4.$$ Это знакомая парабола $y=x^{2}$, опущенная на $4$ вниз: вершина $(0;-4)$, она лежит в области $x<2$. Нули: $x=2$ и $x=-2$, но в этой области остаётся только $x=-2$.

Шаг 2. Стык кусков. При $x=2$ обе формулы дают ноль: $4-20+16=0$ и $4-4=0$. График непрерывен и проходит через точку $(2;0)$.

Шаг 3. Как выглядит график. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(0;-4)$, поднимается к стыку $(2;0)$, затем падает до дна $(5;-9)$ и снова уходит вверх. Это «двугорбая» кривая с двумя ямами на высотах $-4$ и $-9$ и локальным максимумом в точке $(2;0)$.

Шаг 4. Пересекаем с прямой $y=m$.

• $m<-9$: $0$ точек;
• $m=-9$: $1$ точка (дно правой, более глубокой ямы);
• $-9</li><li>$m=-4$:$2$точки на правой параболе плюс дно левой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-4
• $m=0$: стык $(2;0)$, плюс $x=8$ справа и $x=-2$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Значит, ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-4$.