Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038759

Шаг 1. Раскрываем модуль. Выражение под модулем меняет знак при $x=4$ — этой точкой и делим ось.

При $x\geq 4$: $| x-4 |=x-4$, поэтому $$y=x^{2}-9x-2(x-4)+20=x^{2}-9x-2x+8+20=x^{2}-11x+28.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{-11}{2}=5,5$, $y_0=5,5^{2}-11\cdot 5,5+28=30,25-60,5+28=-2,25$. Точка $(5,5;-2,25)$ лежит в области $x\geq 4$ — эта яма на графике настоящая. Нули: $x^{2}-11x+28=0$ даёт $x=4$ и $x=7$ (сумма $11$, произведение $28$).

При $x<4$: $| x-4 |=-(x-4)=4-x$, поэтому $$y=x^{2}-9x+2(x-4)+20=x^{2}-9x+2x-8+20=x^{2}-7x+12.$$ Тоже парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=3,5$, $y_0=3,5^{2}-7\cdot 3,5+12=12,25-24,5+12=-0,25$. Точка $(3,5;-0,25)$ лежит в области $x<4$ — и эта яма настоящая. Нули: $x^{2}-7x+12=0$ даёт $x=3$ и $x=4$.

Шаг 2. Точка стыка. При $x=4$ обе формулы дают одно и то же значение: $16-44+28=0$ и $16-28+12=0$. Значит график непрерывен и проходит через $(4;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(3,5;-0,25)$, поднимается к точке стыка $(4;0)$, затем опускается до дна $(5,5;-2,25)$ и снова уходит вверх. Получилась «двугорбая» кривая: две ямы на высотах $-0,25$ и $-2,25$, между ними — локальный максимум $(4;0)$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-2,25$: $0$ точек;
• $m=-2,25$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-2,25</li><li>$m=-0,25$:$2$точки на правой параболе плюс дно мелкой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-0,25
• $m=0$: точка стыка $(4;0)$, плюс $x=7$ справа и $x=3$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки получаются при $m=0$ и при $m=-0,25$.