Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038757

Шаг 1. Разбираем модуль по промежуткам. Выражение $| x |$ раскрывается по-разному слева и справа от нуля.

При $x\geq 0$: $| x |=x$, поэтому $$y=x(x+1)-3x=x^{2}+x-3x=x^{2}-2x.$$ Парабола ветвями вверх. Нули: $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$ — оба лежат в области $x\geq 0$. Вершина посередине между нулями: $x_0=1$, $y_0=1^{2}-2\cdot 1=-1$. Значит правая половина графика выходит из точки $(0;0)$, опускается до $(1;-1)$, возвращается к оси в точке $(2;0)$ и дальше неограниченно поднимается.

При $x<0$: $| x |=-x$, поэтому $$y=-x(x+1)-3x=-x^{2}-x-3x=-x^{2}-4x.$$ Парабола ветвями вниз. Нули: $-x(x+4)=0$, то есть $x=0$ и $x=-4$; в область $x<0$ попадает только $x=-4$. Вершина: $x_0=\dfrac{0+(-4)}{2}=-2$, $y_0=-(-2)^{2}-4\cdot(-2)=-4+8=4$. Левая половина поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-4;0)$, достигает наибольшего значения $4$ в точке $(-2;4)$ и спускается к началу координат.

Обе половины смыкаются в точке $(0;0)$.

Шаг 2. Пересекаем с прямой $y=m$.

Правая половина: при $m<-1$ точек нет; при $m=-1$ одна (вершина); при $-10$ одна.

Левая половина: при $m<0$ одна; при $m=0$ одна (это $x=-4$, так как $x=0$ левой половине не принадлежит); при $04$ ни одной.

• $m<-1$: $0+1=1$;
• $m=-1$: $1+1=2$ — подходит;
• $-1</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=4$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;4$: $1+0=1$.

Итак, ровно две общие точки бывают на двух уровнях: $m=-1$ (дно правой половины) и $m=4$ (вершина левой половины).