Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038756

Шаг 1. Раскрываем модуль. Знак выражения под модулем меняется в нуле, поэтому разбираем два случая.

При $x\geq 0$ имеем $| x |=x$, значит $$y=x(x-1)-6x=x^{2}-x-6x=x^{2}-7x.$$ Это парабола ветвями вверх. Её нули: $x(x-7)=0$, то есть $x=0$ и $x=7$ — оба попадают в область $x\geq 0$. Вершина посередине между нулями: $x_0=\dfrac{0+7}{2}=3,5$, $y_0=3,5^{2}-7\cdot 3,5=12,25-24,5=-12,25$. Итак, правая часть графика выходит из начала координат, опускается до точки $(3,5;-12,25)$, возвращается к оси в точке $(7;0)$ и уходит вверх.

При $x<0$ имеем $| x |=-x$, значит $$y=-x(x-1)-6x=-x^{2}+x-6x=-x^{2}-5x.$$ Это парабола ветвями вниз. Её нули: $-x(x+5)=0$, то есть $x=0$ и $x=-5$; в область $x<0$ попадает только $x=-5$. Вершина: $x_0=\dfrac{0+(-5)}{2}=-2,5$, $y_0=-(-2,5)^{2}-5\cdot(-2,5)=-6,25+12,5=6,25$. Значит левая часть графика поднимается из минус бесконечности, проходит через $(-5;0)$, достигает наибольшего значения в точке $(-2,5;6,25)$ и спускается к началу координат.

Обе части сходятся в точке $(0;0)$, разрыва нет.

Шаг 2. Считаем общие точки с прямой $y=m$. Смотрим на каждую половину отдельно.

Правая половина (при $x\geq 0$): ниже уровня $-12,25$ точек нет; на самом уровне $-12,25$ — одна (вершина); при $-12,250$ — одна (вторая ветвь ушла бы влево от нуля).

Левая половина (при $x<0$): при $m<0$ — одна точка; при $m=0$ — одна (это $x=-5$, ведь $x=0$ левой половине не принадлежит); при $06,25$ — ни одной.

• $m<-12,25$: $0+1=1$;
• $m=-12,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $-12,25</li><li>$m=0$:$2+1=3$;</li><li>$0
• $m=6,25$: $1+1=2$ — подходит;
• $m&gt;6,25$: $1+0=1$.

Ровно две общие точки получаются на уровне дна правой части и на уровне вершины левой: $m=-12,25$ и $m=6,25$.