Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038755

Шаг 1. Избавляемся от модуля. Модуль $| x+8 |$ меняет знак при $x=-8$, поэтому разбиваем числовую ось этой точкой.

При $x\geq -8$ имеем $| x+8 |=x+8$, и функция принимает вид $$y=x^{2}+14x-3(x+8)+48=x^{2}+14x-3x-24+48=x^{2}+11x+24.$$ Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{11}{2}=-5,5$, $y_0=(-5,5)^{2}+11\cdot(-5,5)+24=30,25-60,5+24=-6,25$. Вершина $(-5,5;-6,25)$ попадает в область $x\geq -8$, значит на графике она действительно есть. Нули: $x^{2}+11x+24=0$ даёт $x=-3$ и $x=-8$ (проверка по теореме Виета: $-3+(-8)=-11$, $(-3)\cdot(-8)=24$).

При $x<-8$ имеем $| x+8 |=-(x+8)$, и функция принимает вид $$y=x^{2}+14x+3(x+8)+48=x^{2}+14x+3x+24+48=x^{2}+17x+72.$$ Снова парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{17}{2}=-8,5$, $y_0=(-8,5)^{2}+17\cdot(-8,5)+72=72,25-144,5+72=-0,25$. Точка $(-8,5;-0,25)$ лежит в области $x<-8$, значит и этот «провал» на графике есть. Нули: $x^{2}+17x+72=0$ даёт $x=-8$ и $x=-9$.

Шаг 2. Стыкуем куски. При $x=-8$ обе формулы дают одно и то же: $64-88+24=0$ и $64-136+72=0$. Значит график непрерывен и проходит через точку $(-8;0)$.

Шаг 3. Смотрим на форму графика. Слева график спускается из бесконечности до дна $(-8,5;-0,25)$, поднимается до точки стыка $(-8;0)$, затем опускается до дна $(-5,5;-6,25)$ и снова уходит вверх. Получается «двугорбая» линия с двумя ямами и вершинкой между ними: точка $(-8;0)$ — локальный максимум, ямы находятся на высотах $-6,25$ и $-0,25$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-6,25$: $0$ точек;
• $m=-6,25$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-6,25</li><li>$m=-0,25$:$2$точки на правой параболе плюс дно мелкой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-0,25
• $m=0$: точка стыка $(-8;0)$, плюс $x=-3$ справа, плюс $x=-9$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ (высота стыка) и при $m=-0,25$ (высота более мелкой ямы).