Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038734

Упростим формулу. Вынесем $x$ в знаменателе: $6x^{2}+7x=x(6x+7)$, тогда $$y=\dfrac{6x+7}{x(6x+7)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение законно только там, где исходная дробь существует. Знаменатель $x(6x+7)$ обращается в ноль при $x=0$ и при $6x+7=0$, то есть при $x=-\dfrac{7}{6}$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq -\dfrac{7}{6}$.

Получается гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой: при $x=-\dfrac{7}{6}$ формула дала бы $y=\dfrac{1}{-7/6}=-\dfrac{6}{7}$, значит точка $\left(-\dfrac{7}{6};-\dfrac{6}{7}\right)$ отсутствует. Она лежит на левой ветви, в третьей четверти.

Прямые $y=kx$. Они проходят через начало координат. Подставляем: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k\leq 0$ решений нет (при $k=0$ получаем $0=1$, при $k<0$ правая часть отрицательна). При $k>0$ корня ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, они симметричны относительно начала координат и лежат на разных ветвях.

Значит одна общая точка возможна только тогда, когда один из корней попал в выколотую точку. Подставим её координаты в $y=kx$: $$-\dfrac{6}{7}=k\cdot\left(-\dfrac{7}{6}\right)\ \Rightarrow\ k=\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{36}{49}.$$

Проверка: при $k=\dfrac{36}{49}$ имеем $x^{2}=\dfrac{49}{36}$, откуда $x=-\dfrac{7}{6}$ (эта точка выколота) и $x=\dfrac{7}{6}$. Остаётся ровно одна общая точка $\left(\dfrac{7}{6};\dfrac{6}{7}\right)$.