Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038743

Упростим дробь. Знаменатель раскладывается: $x^{2}-x=x(x-1)$, поэтому $$\dfrac{x-1}{x^{2}-x}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение возможно только там, где исходное выражение определено, а знаменатель $x(x-1)$ равен нулю при $x=0$ и при $x=1$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq 1$.

Итак, $y=-5-\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$ и $x\neq 1$. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, опущенная на $5$ вниз: горизонтальная асимптота — прямая $y=-5$, вертикальная — прямая $x=0$.

Первое «пустое» значение. Число $y=-5$ график не принимает никогда: равенство $-5-\dfrac{1}{x}=-5$ означало бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого $x$ не существует.

Второе — выколотая точка. При $x=1$ формула дала бы $y=-5-\dfrac{1}{1}=-6$. Но $x=1$ запрещён, значит точка $(1;-6)$ на графике выколота.

Проверим, что значение $-6$ больше нигде не достигается. Уравнение $-5-\dfrac{1}{x}=m$ при $m\neq -5$ равносильно $\dfrac{1}{x}=-5-m$, откуда $x=\dfrac{1}{-5-m}$ — корень единственный. При $m=-6$ это как раз $x=\dfrac{1}{1}=1$, то есть единственный кандидат и был выколот.

Итак, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-5$ (совпадает с асимптотой) и при $m=-6$ (проходит через выколотую точку).